Temario de calculo - Incrementos Y Diferenciales

Incrementos y diferenciales

Para funciones de una variable , se define el incremento de como

y la diferencial de como

representa el cambio en la altura de la curva y representa la variación en a lo largo de la recta tangente cuando varía en una cantidad .

En la siguiente figura se muestra .

Figura 1: diferencial

Observe que se aproxima a cero más rápidamente que , ya que

$,displaystyle{epsilon,= , frac{Delta y - dy}{Delta x}, = , frac{f(x ... ...x)Delta x}{Delta x}, = , frac{f(x + Delta x) - f(x)}{Delta x} - f'(x)},$

y al hacer , tenemos que .

Por tanto

donde conforme .

Ahora consideremos una función de dos variables .

Si y son incrementados y , entonces el correspondiente incremento de es

Con lo cual representa el cambio en el valor de cuando cambia a .

	Definición
	Sean $,f :,D subset mathbb{R}^{2}, longrightarrow mathbb{R},$ una función escalar y y incrementos de y de , entonces la diferencial total de la variable dependiente es $begin{displaymath}dz, = , f_{x}(x, y)Delta x + f_{y}(x, y)Delta yend{displaymath}$

Ejemplo 1

Calcule la diferencial total para la función

$begin{displaymath}f(x, y), = , sqrt{2x^{3} + y^{2}}end{displaymath}$

Las derivadas parciales están dadas por

$begin{displaymath}displaystyle{frac{partial f}{partial x}, = , frac{3x^{2}}{sqrt{2x^{3} + y^{2}}}}end{displaymath}$

$begin{displaymath}displaystyle{frac{partial f}{partial y}, = , frac{y}{sqrt{2x^{3} + y^{2}}}}end{displaymath}$

de donde

$begin{displaymath}displaystyle{dz, = , frac{partial f(x, y)}{partial x}... ... + y^{2}}}Delta x + frac{y}{sqrt{2x^{3} + y^{2}}}Delta y}end{displaymath}$

Teorema (aproximación lineal)

Sea $,f : mathbb{R}^{2}longrightarrowmathbb{R},$ una función escalar continua en

. Suponga que

son incrementos de

y de

, lo suficientemente pequeños para que $,(x_{0} + Delta x, y_{0} + Delta y), in , D,$ , entonces si las derivadas parciales $,f_{x},$ y $,f_{y},$ son continuas en $,(x_{0}, y_{0}),$ el incremento de la variable dependiente

$begin{displaymath}Delta z, = , f(x_{0} + Delta x, y_{0} + Delta y) - f(x_{0}, y_{0})end{displaymath}$

puede escribirse como

$begin{displaymath}Delta z, = , f_{x}(x_{0}, y_{0})Delta x + , f_{y}(x_{0}, y_{0})Delta y + epsilon_{1}Delta x + epsilon_{2}Delta yend{displaymath}$

donde

$,epsilon_{1}, longrightarrow 0,$ cuando

$,epsilon_{2}, longrightarrow 0,$ cuando

Los incrementos y se les llama diferenciales de las variables independientes y se denotan por y .

Observación: Este teorema afirma que el cambio real en es aproximadamente igual a la diferencial total , cuando los incrementos y son pequeños, es decir, .

Ejemplo 2

El radio de la base y la altura de un cono circular recto miden y , respectivamente, con un posible error en la medición de , cuando mucho. Utilice diferenciales para estimar el error máximo en el volumen del cono.

Solución

El volumen de un cono es $,V = pi r^{2}h,$ , con lo cual la diferencial total es

$begin{displaymath}dV, = , displaystyle{frac{partial V}{partial r},dr + ... ...rtial h},dh = frac{2pi rh}{3},dr + frac{pi r^{2}}{3},dh}end{displaymath}$

Puesto que los errores son, cuando mucho, del orden de , tenemos que y . Para estimar el máximo error en el volumen, tomanos el máximo error en las medidas de y . Por tanto, y , junto con

$begin{displaymath}dV, = , displaystyle{frac{500}{3}, 0.1 + frac{100pi}{3}, 0.1} = 20piend{displaymath}$

De esta forma el máximo error en el volumen es de aproximadamente .

Para que una función mtfde varias variables seaderivableen un punto no basta con que las derivadas parciales existan, esto nos dice que la derivabilidad de una función de varias variables es más compleja que la de una variable.

Definición (diferenciabilidad)

Dada una función escalar $,f : D subset R^{2}longrightarrow R,$ continua en

con derivadas parciales $,f_{x},$ y $,f_{y},$ son continuas en $,(x_{0}, y_{0}), in , D,$ , si

puede expresarse como

$begin{displaymath}Delta z, = , f_{x}(x_{0}, y_{0})Delta x + f_{y}(x_{0}, y_{0})Delta y + epsilon_{1}Delta x + epsilon_{2}Delta yend{displaymath}$

donde

$,epsilon_{1}, longrightarrow, 0,$ cuando

$,epsilon_{2}, longrightarrow, 0,$ cuando

decimos que es diferenciable en $,(x_{0}, y_{0}),$ .

Observación: Es decir, que una función es diferenciable en $,(x_{0}, y_{0}),$ si la diferencial total es una buena aproximación al incremento total . En otras palabras, la función lineal

$begin{displaymath}z, = , f(x_{0}, y_{0}) + f_{x}(x_{0}, y_{0})(x - x_{0}) + f_{y}(x_{0}, y_{0})(y - y_{0})end{displaymath}$

es una buena aproximación de la función cerca de $,(x_{0}, y_{0}),$ . Por consiguiente, por el teorema de aproximación lineal, si $,f_{x},$ y $,f_{y},$ existen cerca de $,(x_{0}, y_{0}),$ y son continuas en este punto, entonces es diferenciable en este punto.

Ejemplo 3

Use diferenciales para calcular un valor aproximado para

$begin{displaymath}sqrt{3(1.95)^{3} + (5.1)^{2}}end{displaymath}$

Solución

Consideremos la función $,f(x,y), = , sqrt{3(x)^{3} + (y)^{2}},$ y observe que podemos calcular con facilidad . Por lo tanto, tomando $,x_{0} = 2,$ y $,y_{0} = 5, , ,d x = Delta x = -0.05,$ y , obtenemos

$begin{displaymath}begin{array}{rcl} sqrt{3(1.95)^{3} + (5.1)^{2}} & = & f(1.9... ...e{frac{5}{7}} (0.1) & & & = &6.98571 end{array}end{displaymath}$

La diferencial defue calculada en el ejemplo 1.

Al igual que para funciones de una variable la diferenciabilidada implica continuidad, como vemos en el siguiente teorema.

	Definición (diferenciabilidad y continuidad)
	Sea subset mathbb{R}^{2}longrightarrow mathbb{R},$" width="123" align="middle" border="0" src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t5-Incrementos-diferenciales/img76.gif" /> una función de escalar diferenciable en , entonces es continua en .