Criterio de la Primera Derivada
Sea f(x) una función diferenciable en (a,b) y c un valor crítico tal que a<c<b. Sería conveniente poder determinar si f(c) es un máximo o un mínimo relativo de f(x), esto nos ayudaría a trazar la gráfica de f(x).
Ejemplo: Gráfica de f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 2
Esta función es continua en todo su dominio. Vamos a analizar su gráfica y el comportamiento de su derivada en el intervalo -5<x<5. El objetivo es el de detectar los máximos y mínimos relativos y determinar algún criterio para encontrarlos utilizando la primera derivada. Observa la siguiente gráfica.
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f(x)= x3 - 3x2 - 9x2 + 2
f'(x)= 3(x - 3)(x + 1)
Números críticos: {-1.0, 3.0}
f(-1.0)= 7.0
f(3.0)= -25.0
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Como verás los extremos relativos de f(x) son f(-1) y f(3). En la siguiente animación observa el comportamiento de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) al pasar por los puntos extremos relativos.
Observa que en los intervalos en los que la función crece, la pendiente de la recta tangente tiene signo positivo, y cuando la función es decreciente, el signo de la pendiente es negativo.
Como ya te habrás dado cuenta las pendientes cambian de signo en los valores críticos.
Para verificar esto a continuación se muestra una tabla de valores de las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) para -5<x<5, observa el comportamiento de las pendientes.
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x
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pendiente
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-5.0
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96.00
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-4.5
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78.75
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-4.0
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63.00
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-3.5
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48.75
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-3.0
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36.00
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-2.5
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24.75
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-2.0
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15.00
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-1.5
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6.75
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-1.0
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0.00
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-0.5
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-5.75
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0.0
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-9
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0.5
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-11.75
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1.0
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-12.00
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1.5
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-11.25
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2.0
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-9.00
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2.5
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-5.75
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3.0
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0.00
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3.5
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6.75
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4.0
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15.00
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4.5
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24.75
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5.0
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36.00
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De acuerdo a lo que se observa en el ejemplo, parece razonable enunciar el siguiente teorema:
Teorema 18: Criterio de la primera derivada para extremos relativos.
Sea f(x) continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), excepto posiblemente en el valor crítico c.
Si f '(x)>0 para a<x<c y f '(x) < 0 para c<x<b entonces f(c) es un máximo relativo.
Si f '(x)<0 para a<x<c y f '(x)>0 para c<x<b entonces f(c) es un mínimo relativo.
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Criterio de la segunda derivada
El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser un máximo relativo de f.
Teorema Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c
1. Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)). 2. Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c,f(c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.
