Temario de calculo - Desigualdades

DESIGUALDADES

Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo.

En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b).

Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase entidad). Si por el contrario, es el mismo sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o destruye en caso de que éstos se cambien, será una inecuación "condicional". El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si ambos miembros se multiplican o dividen por un número negativo.

La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado.

Propiedades

Las inecuaciones se rigen por las siguientes propiedades:

Tricotomía

La propiedad de la tricotomía dicta que:

Simetría

Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto que:

Para dos números reales, a y b:

Si $, a > b$ entonces $, b < a$
Si $, a < b$ entonces $, b > a$

Transitiva

Para tres números reales, a, b, y c:

Si $, a > b$ y $, b > c$ entonces $, a > c$
Si $, a < b$ y $, b < c$ entonces $, a < c$
Si $, a > b$ y $, b = c$ entonces $, a > c$

Adición y sustracción

Las propiedades relacionadas con la adición y la sustracción:

Para tres números reales, a, b, y c:
- Si $, a > b$ ; entonces $, a + c > b + c$ y $, a - c > b - c$
- Si $, a < b$ ; entonces $, a + c < b + c$ y $, a - c < b - c$

Multiplicación y división

Las propiedades relativas a la multiplicación y la división:

Para tres números reales, a, b, y c:
- Si $, c$ es positivo y $, a > b$ entonces $, a times c > b times c$ y $, frac{a}{c} > frac{b}{c}$
- Si $, c$ es positivo y $, a < b$ entonces $, a times c b$ entonces $, a times c b times c$ y $, frac{a}{c} > frac{b}{c}$

Nota:

Si ambos términos de una inecuación se multiplican o dividen por la misma expresión negativa, el símbolo de la desigualdad se da la vuelta.

Aplicando una función a ambos miembros

Puede aplicarse cualquier función monótona creciente a ambos lados de una inecuación manteniendo el mismo signo de desigualdad.

Notación encadenada

La notación a < b < c establece que a < b (a menor que b) y que b < c (b menor que c) y aplicando la propiedad transitiva anteriormente citada, puede deducirse que a < c (a menor que c). Obviamente, aplicando las leyes anteriores, puede sumarse o restarse el mismo número a los tres términos, así como multiplicarlos o dividirlos todos por el mismo número (distinto de cero) invirtiendo las inecuaciones según su signo. Debe tenerse cuidado de utilizar en todos los casos el mismo número. Así, a < b + e < c es equivalente a a - e < b < c - e.

Esta notación se puede extender a cualquier número de términos: por ejemplo, a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n establece que a_i ≤ a_i+1 para i = 1, 2, ..., n−1. Según la propiedad de la transitividad, esta condición es equivalente a a_i ≤ a_j para cualquier 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con inecuaciones en diferentes direcciones. En ese caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre los términos adyacentes. Por ejemplo, a c ≤ d significa que a < b, b > c, y c ≤ d. Aparte del uso poco frecuente en matemáticas, esta notación existe en unos pocos lenguajes de programación tales como Python.

Desigualdades conocidas

Los matemáticos suelen usar inecuaciones para aproximarse a cantidades cuyas fórmulas exactas no pueden ser fácilmente computadas. Algunas se usan tan a menudo que se les ha puesto nombre, como:

Desigualdad de Azuma
Desigualdad de Bernoulli
Desigualdad de Boole
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Desigualdad de Chebyshov
Desigualdad de Chernoff
Desigualdad de Cramér-Rao
Desigualdad de Hoeffding
Desigualdad de Hölder
Desigualdad de las medias aritmética y geométrica
Desigualdad de Jensen
Desigualdad de Márkov
Desigualdad de Minkowski
Desigualdad de Nesbitt
Desigualdad de Pedoe
Desigualdad de Shapiro
Desigualdad triangular

Reglas para desigualdades

Si un mismo número es sumado o restado en ambos lados de la desigualdad, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. En forma simbólica:
si a < b, entonces a + c < b + c y a + c < b + c
Por ejemplo: 7 < 10, de modo que 7 + 3 < 10 + 3
Si ambos lados de una desigualdad son multiplicados o divididos por por el mismo número positivo, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. En forma simbólica:
si a 0, de modo que ac < bc y a/c < b/cPor ejemplo: 3 < 7 y 2 > 0, de modo que 3(2) < 7(2) y 3/2 < 7/2
Si ambos lados de la desigualdad son multiplicados o divididos por el mismo número negativo, entonces la desigualdad tendrá el sentido contrario de la original. En forma simbólica:
si a b(-c) y a/-c > b/-c<
Por ejemplo: 4 < 7 pero 4(-2) > 7(-2) y 4/-7 > 7/-2
Cualquier lado de la desigualdad puede ser reemplazado por una expresión equivalente. En forma simbólica:
si a < b y a = c, entonces c < b
Por ejemplo, si x < 2 y x = y + 4, entonces y + 4 < 2.
Si los lados de una desigualdad son ambos positivos o negativos, entonces sus recíprocos respectivos estarán relacionados por un símbolo de desigualdad con sentido contrario de la original.
Por ejemplo, 2 < 4 pero ½ > ¼el recíproco de un número a diferente de cero está definido cómo 1/a.
Si ambos lados de una desigualdad son positivos y elevados cada uno a la misma potencia positiva, entonces la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original.
Por tanto 0 < a 0, entonces aⁿ < bⁿ