Propiedades de los números reales
1 Cerradura
Si a y b están en R entonces a+b y a*b son números determinados en forma única que están también en R.
2 Propiedad Conmutativa (Suma y Multiplicación)
Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a*b = b*a.
3 Propiedad Asociativa. (Suma y Multiplicación)
Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a*(b*c) = (a*b)*c
4 Propiedad Distributiva.
Si a, b y c están en R entonces a*(b+c) = ab+ac
5 Existencia de Elementos neutros.
R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a*1 = a para a que pertenece a los reales.
6 Elementos inversos Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a es diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a*(1/a) = 1.
[+ El inverso multimplicativo de a también se representa por
El primer axioma garantiza que la suma y la multiplicación son operaciones binarias en los números reales. Los axiomas 2 al 4 indican la forma de manipular algebraicamente las dos operaciones. El axioma 5 establece la existencia de dos elementos distintos 0 y 1. Y el último axioma indica la existencia de los elementos inverso por lo que los números reales forman un campo, nótese que en la segunda parte de este último axioma se supone diferente de cero el número a.
También es fácil ver que combinando el axioma 2 con los axiomas 5 y 6 tenemos:
0 + a = 0
1.a = a
(-a) + a = 0
(1/a)*a = 1
Como es costumbre en álgebra, el producto a*b se representará simplemente por ab, también se puede utilizar un punto a.b
Es importante aclarar que estas propiedades de campo son el resultado de muchos años de trabajo de la humanidad para poder llegar a resumir la característica algebraica de los números. En general el álgebra estudia estructuras básicas como grupos, anillos, dominios integrales, espacios vectoriales, campos, etc. que es una clasificación de acuerdo a las propiedades que satisfacen. De las mencionadas un campo es la estructura más completa, que es precisamente la estructura de los números reales.
Aparentemente, después de ver los axiomas se pensaría que faltan propiedades pues no se ha mencionado la resta ni la división, faltan potencias y raíces, y muchas otras cosas. Cómo es posible que con estas propiedades lo demás se cumpla automáticamente?
Efectivamente, faltan las ideas de resta, división, potencias, raíces y otras más. Pero éstas son una consecuencia de las anteriores; podemos construirlas en base a los seis axiomas y lo único que faltaría es dar la definición y comprobar que es posible hacerlo.
Una manera sencilla de recordar los axiomas básicos es agrupando en 3 leyes básicas. Ver
Propiedades Básicas.
EJEMPLOS: (-a)b = -ab.
Ejemplo 1.1. Comprobar (-a)b = -ab usando los axiomas.
Demostración:
(-a)b = (-a)b + 0 axioma 5
= (-a)b + [ab + (-;ab)] propiedad 6
= [(-a)b +ab] + (-ab) propiedad 3
= [(-a)+a]b + (-ab) propiedad 4
= 0.b + (-ab) propiedad 6
= [0.b + 0] + (-ab) propiedad 5
= {0.b + [ab+(-ab)]} + (-ab) propiedad 6
= [(0.b + ab) + (-ab)] + (-ab) propiedad 3
= [(0+a).b + (-ab)] + (-ab) propiedad 4
= [ab + (-ab)] + (-ab) propiedad 5
= 0 + (-ab) propiedad 6
= (-ab) + 0 propiedad 2
= -ab propiedad 5
Cada una de las propiedades algebraicas se podrían demostrar de esta forma, sin embargo una demostración a partir de los axiomas sería demasiado extensa y repetitiva de muchas propiedades. Por ejemplo si ya tuviéramos la propiedad de que a.0 = 0 nos ahorraríamos seis pasos en el procedimiento anterior. En realidad es conveniente comprobar algunas propiedades básicas sencillas de justificar y utilizarlas para la demostración de otras más complicadas. Empezaremos por unas de las propiedades más útiles hasta llegar a comprobar reglas importantes de manejo de expresiones algebraicas.
Teorema 1.1 Propiedades de álgebra elemental.
Si a, b, y c son números reales entonces:
i. a+b = b+a => b = c ley de simplificación para la suma
ii. (-a) es único; Posibilidad de la sustracción
iii. -(-a) = a
iv. -(a+b) = -a + (-b)
v. ab = ac, a =/ 0 => b = c
vi. −1 es único
vii. (−1)1 = a
viii.
ix. a*0 = 0 x. (-a)b = a(-b) = -ab xi. (-a)(-b) = ab xii. ab = 0 => a=0 ó b=0
Definición 1.1 Resta y división.
i. La resta de dos números reales a, b se define como a?b = a+(?b).
ii. La división de dos números reales a, b se define cuando b =/ 0 como a/b = ab?1.
Teorema 1.2 Propiedades de operaciones con fracciones.
xiii. a/b . c/d = ac/bd xiv. a/b + c/d = (ad+bd)/bd xv. (a/b)/(c/d) = ad/bc
Con estas quince propiedades de álgebra elemental es fácil comprobar cualquier otra regla, como un ejemplo demostraremos las propiedades (i), (ii), (ix) y (x).
Ejemplo 1.2 Demuestre (i) a+b = a+c => b = c
Demostración:
Consideremos un elemento (?a) tal que a + (?a) = 0 el cual existe por el axioma 6.
por lo tanto
a+b = a+c =>
(?a)+(a+b) = (?a)+(a+c) sustitución directa
(?a+a)+b = (?a+a)+c asociatividad
0+b = 0+c elemento inverso
b = c elemento neutro @
Por la propiedad conmutativa también se cumple la ley de cancelación por la derecha, o sea
b+a = c+a => b = c.
Ejemplo 1.3 Demuestre (ii) (?a) es único
Demostración:
Sabemos que para el número a existe (?a) tal que a+(?a) = 0 y supongamos que existe otro número b tal a + b = 0, entonces
a+(?a) = a + b
?a = b ley de cancelación (i) @
Ejemplo 1.4 Demuestre (ix) a.0 = 0
Demostración.
a.0 = a.(0+0) elemento neutro
= a.0 + a.0 propiedad distributiva
también
a.0 = a.0 + 0 elemento neutro
por lo tanto a.0 + a.0 = a.0 + 0
finalmente a.0 = 0 por la ley de cancelación. @
Ejemplo 1.5 Demuestre (x) (?a)b = a(?b) = ?ab
Demostración.
(?a)b = (?a)b + 0 elemento neutro
= (?a)b + [ab + (?ab)] elemento inverso
= [(?a)b +ab] + (?ab) propiedad asociativa
= [(?a)+a]b + (?ab) propiedad distributiva
= 0.b + (?ab) elemento inverso
= 0 + (?ab) propiedad (ix)
= ?ab elemento neutro @
Compare esta demostración con la del ejemplo 1.
Finalmente vemos que las propiedades (iii) y (iv) son muy simples usando (ii). (v), (vi), (vii) y (viii) son similares a las cuatro primeras con la multiplicación en lugar de la suma. (xi) es directo usando (x). (xii) es un ejercicio. (xiii), (xiv) y (xv) se pueden comprobar usando la definición de división.
Ejemplo 1.6 Compruebe (xiv) a/b + c/d = (ad+bd)/bd
Demostración:
(ad+bc)/bd = (ad+bc)(bd)?1 = (ad+bc)b?1d?1
= adb?1d?1 +bcb?1d?1 = ab?1 + cd?1
= a/b + c/d @
Conceptos de algebra elemental.
Ya hemos visto como comprobar las propiedades algebraicas que vimos en secundaria y bachillerato a partir de los axiomas, pero vamos a utilizar las propiedades de ahora en adelante con otro enfoque. Si se pretende seguir usando las propiedades mecánicamente como se hacía en niveles más elementales no sirvió de mucho el haber aprendido esto.
La idea fundamental es que se adquiera el suficiente criterio para saber interpretar un resultado cuando se siguen los pasos de un método. Y también el poder darnos cuenta si un paso está o no correcto.
Para poder aplicar los conceptos algebraicos, es necesario conocer los elementos con los que vamos a trabajar. Así que es necesario ejemplificar las diversas clases de números que emplearemos.
Primeramente notamos que 1+1 es también un número real, a este número le llamamos 2 y si analizamos 2+1 también es un número, de la misma forma sumando el número 1 cada vez podemos obtener nuevos números los cuales son los más sencillos de entender y por esto se llama números naturales o enteros positivos. Se representan por la letra N; esto es, N = {1,2,3,…}.
Por el axioma 6, primera parte, cada entero positivo tiene un inverso aditivo y se forma el conjunto de números enteros:
Z = {0,1,?1,2,?2,3,?3…}.
Otra clase importante de números son los que obtienen al dividir dos enteros, llamados racionales:
Q = {a/b : a,b están en Z, b =/ 0}
Podemos observar que como a/1 = al conjunto de los enteros es un subconjunto de los racionales.
Finalmente, a todo número real que no sea racional se le llama irracional, los irracionales se denotan por Ir.
Ya que hemos hablado de los principales conjuntos de números, veremos algunos de las aplicaciones clásicas del álgebra elemental. Pondremos dos ejemplos para ilustrar esto.
Analicemos el método que usamos para resolver una ecuación.
Ejemplo 1.7 Resolver la ecuación 2x?1 = 5
Solución:
2x ? 1 = 5
2x = 5 + 1
x = 6/2
x = 3
Concluimos que la solución es el número 3.
¿Está bien hecha esta conclusión?, que significa el último paso x = 3?
Para contestar esto, veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2.8 Resolver la ecuación 2x/(x?1) ? 2/(x?1) = 1
Solución:
2x/(x?1) ? 2/(x?1) = 1
(2x?2)/(x?1) = 1
2x?2 = x?1
2x?x = ?1+2
x = 1
aquí vemos que el número 1 no puede ser solución pues en el sistema de los números reales no es posible dividir entre 0, así que la solución es el conjunto vació.
Lo que realmente hacemos cuando aplicamos los pasos algebraicos como los anteriores para “resolver” una ecuación, es suponer que existe un número que es solución de la ecuación y llegamos a que dicha solución “si existiera” debía tener cierto valor (en el ejemplo 2.8 el valor x=1), sin embargo la solución puede ser 0/ como en el ejemplo, por lo que es necesario verificar en la ecuación original si él o los números obtenidos son realmente solución de la ecuación.
De aquí en adelante, así como en este caso, debemos tener cuidado cuando manejamos propiedades algebraicas y debemos de ser capaces de interpretar correctamente el resultado de un procedimiento.
Ejercicios:
En los siguientes ejercicios todas las propiedades se refieren al teorema 2.1.
1. Demuestre la propiedad (iii) usando la propiedad (ii).
2. Demuestre la propiedad (iv) usando la propiedad (ii).
3. Demuestre las propiedades (v) y (vi) en forma análoga a como se demostraron (i) y (ii)
4. Demuestre (xiii) usando la definición de división.
5. Demuestre (xv) usando la definición de división.
6. Indique si es posible tener un conjunto con los mismos axiomas de campo de los números reales pero que el cero tuviera inverso?
7. Indique qué propiedades se utilizaron en la demostración del ejemplo 6.
8. Justifique los pasos del ejemplo 2.7.
9. Justifique los pasos del ejemplo 2.8.
10. Demuestre que ?0 = 0.
11. Compruebe que el 0 es el único número que es su propio inverso aditivo.
12. Indique qué propiedades de campo cumple el conjunto de los números enteros Z = {…?3,?2,?1,0,1,2,3,…}.
13. Indique qué propiedades de campo cumplen los números enteros positivos N = {1,2,3,…}.
14. Compruebe que ?(a?b) = ?a+b
15. Compruebe que a/b ? a/c = (ad?bc)/bd
16. Compruebe que la ecuación ax+b = 0 tiene una solución única cuando a0.
17. 3x + 1 = 7
18. x2 ? x ? 6 = 0
19. x 1 8
+ = ?
x+2 x?2 x2?4
20. 5×2 ? 12x + 4 = 0
+