Continuidad de una función
Criterios de continuidad de una función en un número
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Se dice que una función f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
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Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 
Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).
Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
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Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7 trace la gráfica de la función; luego observando dónde hay saltos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y muestre cuál condición no se cumple de los "Criterios de contnuidad de una función en número". En los ejercicios 8 a 14 demuestre que la función es discontinua en el número a. Luego determine si la discontinuidad es eliminable o esencial. Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca. En los ejercicios 15 a 21, determine los números en los cuales es continua la función dada.
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S o l u c i o n e s
1. Solución:
f (-3) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusión:
f es discontinua en -3.
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2. Solución:
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x
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-6
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-1
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0
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2
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3
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5
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6
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9
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h(x)
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-0.5
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-1
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-1.25
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-2.5
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-5
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5
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2.5
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1
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f (4) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusón:
f es discontinua en 4.
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3. Solución:
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x
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-4
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-3
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-2
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-1
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0
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8
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y
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-0.5
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-1
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0
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1
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0.5
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0.1
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4. Solución:
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x
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-6
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-2
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-1
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0
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1
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2
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6
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y
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0.025
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0.2
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0.25
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0.2
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0.025
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0.125
0.125
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5. Solución
Por lo tanto, f es discontinua en 0.
6. Solución:
7. Solución:
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x
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...
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...
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y
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...
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-2
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-1
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0
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1
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2
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...
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8. Solución:
9. Solución:
10. Solución:
11. Solución:
12. Solución:
13. Solución:
14. Solución:
15. Solución:
16. Solución:
17. Solución:
18. Solución:
19. Solución:
20. Solución:
21. Solución:
