Integración por sustitución trigonométrica

La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la forma

$sqrt {a^2 - u^2}$ , $sqrt {a^2 + u^2}$ y $sqrt {u^2 - a^2}$

Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.

En el caso general la integral a resolver es:

$int R (x,sqrt{ax^2+bx+c}) dx$

Simplifiquemos paso a paso el termino de la raíz, primeramente sacaremos $a$ factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.

$sqrt{ax^2+bx+c}=sqrt{acdot left ( x^2+frac{bx}{a}+frac{c}{a} right )}=sqrt{acdot left ( x^2+2cdot frac{bx}{2a}+frac{c}{a} right )}=sqrt{acdot left ( x^2+2cdot frac{bx}{2a}+frac{c}{a}+left ( frac{b}{2a} right )^2 -left ( frac{b}{2a} right )^2 right )}=$

$=sqrt{acdot left ( left ( x+frac{b}{2a} right )^2+ left ( frac{c}{a}-frac{b^2}{4a^2} right ) right )}=sqrt{acdot left ( x+frac{b}{2a} right )^2+c-frac{b^2}{4a}}$

De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:

$a > 0$ Λ $c-frac{b^2}{4a}>0$ es decir: $sqrt{m^2 left ( x+frac{b}{2a} right )^2+n^2}$
$a > 0$ Λ $c-frac{b^2}{4a}<0$ es decir: $sqrt{m^2 left ( x+frac{b}{2a} right )^2-n^2}$
$a < 0$ Λ $c-frac{b^2}{4a}>0$ es decir: $sqrt{-m^2 left ( x+frac{b}{2a} right )^2+n^2}$

Estos los cambios que hay que realizar según la situación:

$mcdot left ( x+frac{b}{2a} right ) =ncdot tan t$
$mcdot left ( x+frac{b}{2a} right ) =ncdot sec t$
$mcdot left ( x+frac{b}{2a} right ) =ncdot sin t$

La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en $t$ , se resuelve y se deshace el cambio.